代数 / Algebra
方程式・数列・指数・対数
二次方程式の解の公式 基本
ax² + bx + c = 0 の解。判別式 D = b²−4ac の符号で解の個数が決まる。
二項定理 組合せ
パスカルの三角形と深く結びつく展開公式。二項係数 C(n,k) を用いる。
等比数列の和 数列
初項 a、公比 r の等比数列の初項から第 n 項までの和。
対数の性質 対数
積の対数は対数の和。底の変換公式 log_a b = log b / log a も頻出。
指数関数の性質 指数
指数法則の基本。a ≠ 0 のとき a⁰ = 1 も重要。
バーゼル問題 無限級数
オイラーが1735年に証明。リーマンゼータ関数 ζ(2) = π²/6 と同値。
解析・微積分 / Calculus
極限・微分・積分・級数展開
微分の定義 基本
導関数の定義。関数のグラフの接線の傾きを表す。
積分の基本定理 基本
F'(x) = f(x) のとき成立。微分と積分を結ぶ最重要定理。
テイラー展開 級数
関数を多項式の無限和で表す展開。a = 0 の場合をマクローリン展開という。
ガウス積分 定積分
確率・統計の正規分布の規格化に使われる。極座標変換で導出できる。
オイラーの公式 複素解析
指数関数と三角関数をつなぐ最重要公式。θ = π を代入するとオイラーの等式。
コーシーの積分公式 複素解析
複素平面の閉曲線 γ の内部の点 a での値を周回積分で表す。
フーリエ変換 解析
時間領域の信号を周波数領域へ変換。信号処理・物理で広く使われる。
ストークスの定理 ベクトル解析
曲面 Σ の境界上の線積分を、曲面上の回転の面積分に変換する。
線形代数 / Linear Algebra
行列・行列式・固有値
2×2 行列の積 行列
行列の積は行×列。一般に交換法則 AB ≠ BA が成立しない。
行列式 (ライプニッツ公式) 行列式
n×n 行列の行列式の定義。σ は S_n の置換、sgn は置換の符号。
固有値方程式 固有値
λ が固有値、v が固有ベクトル。特性方程式を解いて固有値を求める。
コーシー・シュワルツ不等式 内積
内積空間における基本不等式。等号は u と v が線形従属のとき。
確率・統計 / Probability & Statistics
確率分布・推定・検定
正規分布の密度関数 分布
平均 μ、標準偏差 σ の正規分布。自然界で最も広く現れる分布。
ベイズの定理 条件付き確率
事前確率と尤度から事後確率を求める。機械学習・医療診断で頻用。
二項分布 離散分布
n 回試行、各回で確率 p で成功するときの成功回数 k の確率。
中心極限定理 大数の法則
n → ∞ で標本平均の分布が正規分布に収束する。統計的推測の基礎。
情報エントロピー 情報理論
シャノンエントロピー。情報の不確実性・乱雑さを定量化する。
物理 / Physics
古典力学・量子力学・電磁気学・相対性理論
ニュートンの運動方程式 古典力学
力は質量と加速度の積。位置ベクトル r の2階微分が加速度。
シュレーディンガー方程式 量子力学
量子力学の基本方程式。Ψ は波動関数、Ĥ はハミルトニアン演算子。
アインシュタインの質量エネルギー等価 相対性理論
静止エネルギーは質量と光速の二乗の積。特殊相対性理論の帰結。
マクスウェル方程式 (ファラデー) 電磁気
変動する磁場が電場を生む (電磁誘導)。発電機・変圧器の原理。
アインシュタイン方程式 一般相対性理論
時空の曲率とエネルギー・運動量テンソルを結ぶ方程式。Λ は宇宙定数。
ハイゼンベルグの不確定性原理 量子力学
位置と運動量を同時に任意の精度で測定することはできない。
化学 / Chemistry
化学反応式・熱力学・量子化学 (mhchem 対応)
酸塩基中和反応 反応式
硫酸と水酸化ナトリウムの中和反応。\ce{} コマンドで化学式を記述。
酸化還元反応 反応式
鉄イオンの還元反応。電荷と電子の授受を mhchem 記法で表現。
ギブズ自由エネルギー 熱力学
ΔG < 0 のとき反応は自発的に進む。エンタルピー変化 ΔH とエントロピー変化 ΔS で決まる。
アレニウスの式 反応速度
温度 T と活性化エネルギー E_a で速度定数 k が変わる。R は気体定数。
物質量の単位表記 SI単位
\pu{} コマンドで IUPAC 準拠の単位付き数値を表示できる。
✏️ 数式を入力して試してみる
LaTeX 記法で数式を入力し「レンダリング」ボタンを押してください。
ここに数式が表示されます